Reconociendo proporcionalidad
Razón
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "
El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
Resolución de problemas:
Veamos cómo resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución:
Si las edades son a y b
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:
Ahora volvemos a los datos del problema:
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :
Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:
Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :
Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.
Ejemplo 2:
El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5: 3. Calcula el área del rectángulo.
Solución:
Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:
Si expresamos las variables dadas en el problema:
Ahora reemplazamos y resolvemos:
Con este resultado reemplazamos :
Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos que el área del rectángulos se calcula :
A = a • b
Por lo tanto la respuesta sería :
A = 40 • 24 = 960
Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm2
Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones.
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:
Ejemplo:
Si tenemos la proporción:
Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:
3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.
MAGNITUDES PROPORCIONALES
a proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
CLASES DE MAGNITUDES PROPORCIONALES:
Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o x e y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:
La relación a menudo se denota
y la razón constante
es llamada constante de proporcionalidad.
Ejemplos
Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?
Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.
admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (su tabla roja). La superficie construida será multiplicada por 
. Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por 
(la subtabla azul es proporcional).
. Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por (la subtabla azul es proporcional).
| El resultado final es |  | metros cuadrados. |
La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONAL
El concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual.
Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (o están en variación inversa, o en proporción inversa o en proporción recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que
| Ejemplo: Alquiler a S/. 200 de una coaster de 25 pasajeros de capacidad para una paseo. | ||
| No pasajeros | Costo de Pasaje | |
| 25 | 8 | |
| 20 | 10 | |
| 10 | 20 | |
| 5 | 40 | |
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando el cociente de sus respectivos valores es siempre constante.
Es decir: A
B si y sólo si ai / bi = k , donde k representa un valor constante.
Se cumple: a1 / b1 = a2 / b2 = ... = k
Es decir: A
B si y sólo si ai / bi = k , donde k representa un valor constante.Se cumple: a1 / b1 = a2 / b2 = ... = k
Ejemplo
| Costo de aviso vs. No de palabras (llamados avisos clasificados) | ||
| Costo (S/.) | No de palabras | |
| 25 | 5 | |
| 50 | 10 | |
| 75 | 15 | |
| 100 | 20 | |
Representación Gráfica:
Si A es inversamente proporcional a B entonces A será directamente proporcional a la inversa de B.
A I.P. B entonces A 1/B
A I.P. B entonces A
1/B| Propiedad 2 | ||
Si A es directamente proporcional a B (cuando C es constante) y además A es directamente proporcional a C (cuando B es constante) entonces A será directamente proporcional al producto de B y C. | ||
| A B (cuando C es cte.) A C (cuando B es cte.) |
entonces | A BC |
Magnitud Inversamente Correlacionada.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al crecer una la otra disminuye en la misma proporción, y al decrecer la primera la segunda aumenta en la misma proporción.
Ejemplo:
Un coche a 50 km/hora tarda 6 horas en recorrer una distancia; a 100 km/hora tarda 3 horas; a 150 km/hora tarda 2 horas.Vemos que:Cuando la velocidad se multiplica por 2, y pasa de 50 km/hora a 100 km/hora, el tiempo se divide por 2, pasando de 6 horas a 3 horas.Cuando la velocidad se multiplica por 3, y pasa de 50 km/hora a 150 km/hora, el tiempo se divide por 3, pasando de 6 horas a 2 horas.
Para resolver problemas de magnitudes que son inversamente proporcionales se pueden utilizar 2 métodos:
Reducción a la unidadRegla de tres inversa
Veamos un ejemplo: 5 obreros tardan 3 días en construir un muro; ¿Cuánto tardarán 8 obreros?
Reducción a la unidad
Calcula el valor de la segunda variable para una unidad de la primera:
Si 5 obreros tardan 3 días, 1 obrero tardará: 5 x 3 = 15 días.Ahora dividimos el valor unitario entre el número de obreros: 15 / 8 = 1,875 días
Regla de tres inversa
Cuando 2 magnitudes son inversamente proporcionales se puede aplicar la “Regla de tres inversa”.
Esta regla nos dice que si para un valor dado de una variable (A) la segunda variable (B) toma un valor determinado, para un valor diferente de la primera magnitud puedo calcular el valor que tomará la 2ª ya que ambas evolucionan de forma inversamente proporcional.
Esta regla nos dice que si para un valor dado de una variable (A) la segunda variable (B) toma un valor determinado, para un valor diferente de la primera magnitud puedo calcular el valor que tomará la 2ª ya que ambas evolucionan de forma inversamente proporcional.
Lo planteamos de la siguiente manera:
5 obreros (A) --------- > 3 días (B)8 obreros (C) --------- > “z” días
En esta regla la incógnita de despeja de forma diferente:
“z” = (A x B) / C
Luego:
Donde “z” = (5 x 3) / 8 = 1,875 días
MATEMATICAS BASICAS
INSTRUCTOR: JONNY PLAZA
PRESENTADO POR: GLORIA INES ACEVEDO
DIEGO ALEXANDER RUBIANO
Comentarios
Publicar un comentario